Bên cạnh phương trình bậc một và bậc hai, phương trình bậc ba cũng thường xuyên xuất hiện trong các bài toán của học sinh cấp 3. Nhìn chung, các bài toán liên quan đến phương trình bậc ba khó hơn các bài tập về phương trình bậc hai. Tuy nhiên, cũng như các bài tập phương trình khác, bạn cần phải nắm thật vững các lý thuyết cơ bản và hướng triển khai phổ thông của bài tập phương trình bậc ba trước khi tiến đến giải phương trình bậc ba gồm các bài tập nâng cao hơn.

1. Phương trình bậc ba là gì?

Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN. Hiểu đơn giản, phương trình bậc ba là phương trình có ẩn số mũ 3 (tức bậc ba). Các dạng phương trình bậc ba thường thấy gồm:

• ax3 + bx2 + cx + d

2. Cách giải phương trình bậc ba

Dạng chuẩn của một phương trình bậc ba trong các bài tập ta thường thấy như sau:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Chúng ta có các cách giải phương trình bậc ba gồm:

Cách 1: Sử dụng máy tính

Máy tính là công cụ hữu ích để giải thật nhanh các phương trình bậc ba, đặc biệt khi dạng phương trình đơn giản và bạn chỉ cần tìm đáp án một cách nhanh nhất. Với những dạng toán phức tạp, có thể bạn sẽ cần biến đổi đi một chút để có thể sử dụng máy tính cho phương trình bậc ba.

Cách 2: Đặt các giá trị

– Nếu

• |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm

• |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất

– Nếu : Phương trình có một nghiệm bội

– Nếu : Phương trình có một nghiệm duy nhất

Cách 3: Áp dụng cho các phương trình bậc ba có dạng ax3 + bx2 + cx = 0

Nhóm x ra bên ngoài như sau:

ax3 + bx2 + cx = 0

=> x(ax2 + bx + c) = 0

=> x = 0 và ax2 + bx + c = 0

Tới đây, bạn giải phương trình ax2 + bx + c = 0 theo cách giải phương trình bậc hai để tìm được các giá trị khác của x.

3. Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình x3 −12x+16=0

Giải:

Cách 1:

Dễ thấy x=2 là một nghiệm của đa thức f(x)=x3−12x+16 nên ta chia f(x) cho (x−2) để được: f(x)=(x−2)(x2+2x−8).

Và đưa phương trình đã cho về: (x−2)(x2+2x−8)=0

⇔x−2=0 và x2+2x−8=0

⇔x=2 và x=−4.

Cách 2:

x3−12x+16=0

⇔x3−4x−8x+16=0

⇔x(x2−4)−8(x−2)=0

⇔ (x−2) [ x(x+2)−8] =0

⇔(x−2)(x+2x−8)=0

⇔(x−2)(x−2)(x+4)=0

⇔x=2 và x=−4.

Bài 2: Giải phương trình

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là

Xem thêm: Cách tính thể tích hình bán nguyệt

Ngoài các cách đơn giản được đề cập trên, còn rất nhiều cách thức triển khai và giải phương trình bậc ba khác. Tuy nhiên, áp dụng cách nào còn tùy vào dạng bài và dữ kiện đề bài cho. Hãy luôn nắm chắc các cách giải cơ bản nhất để có thể áp dụng ngay lúc cần giải phương trình bậc ba.